Cardinalitat del continu

En matemàtiques, i més concretament en teoria de conjunts, la cardinalitat del continu és la cardinalitat o "grandària" del conjunt dels nombres reals ${\displaystyle \mathbb {R} }$, de vegades anomenat "el continu". És un nombre cardinal infinit i es denota per ${\displaystyle |\mathbb {R} |}$ o per ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ (una "c" minúscula fraktur).

Els nombres reals ${\displaystyle \mathbb {R} }$ són més nombrosos que els nombres naturals ${\displaystyle \mathbb {N} }$. És més, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ té el mateix nombre d'elements que el conjunt de les parts de ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Simbòlicament, si es denota per ${\displaystyle \aleph _{0}}$ la cardinalitat de ${\displaystyle \mathbb {N} }$, llavors la cardinalitat del continu és

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}\,.}$

Aquest resultat fou demostrat per Georg Cantor l'any 1874 com a part del seu estudi sobre els diferents infinits; la desigualtat fou demostrada d'una forma més senzilla en el seu argument de la diagonal. Cantor va definir la cardinalitat en termes de funcions bijectives: dos conjunts tenen la mateixa cardinalitat si i només si existeix una funció bijectiva entre ambdós conjunts.

Entre dos nombres reals qualssevol a < b, sense importar si estan prop o lluny l'un de l'altre, sempre hi ha un nombre infinit d'altres nombres reals, i Cantor va demostrar que hi ha una quantitat igual a la del conjunt complet dels nombres reals. En altres paraules, l'interval obert (a, b) és equipotent amb ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Això també és cert per a altres conjunts infinits, com qualsevol espai euclidià n-dimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. És a dir,

${\displaystyle |(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.}$

El nombre cardinal infinit més petit és ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (àlef zero). El segon més petit és ${\displaystyle \aleph _{1}}$ (àlef u). La hipòtesi del continu, que afirma que no existeixen conjunts amb cardinalitat estrictament entre ${\displaystyle \aleph _{0}}$ i ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, implica que ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$.